CINÉTICA DE CUERPOS RÍGIDOS EN 3 DIMENSIONES

 

MOMENTO Y PRODUCTO DE INERCIA

La cantidad de movimiento angular Hg de un cuerpo alrededor de su centro de masa G puede determinarse a partir de la velocidad angular w del cuerpo en el caso de movimiento tridimensional.

La cantidad de movimiento angular del cuerpo alrededor de puede expresarse como:

H_G= ∑(i=1)^n[r´i×v´i ∆mi]           

Donde  y  denotan, respectivamente, el vector de posición y la velocidad de la partícula  de masa , relativa al sistema de referencia centroidal . Pero , donde  es la velocidad angular del cuerpo en el instante considerado. Al sustituir en (18.3), se tiene: H_G= ∑_(i=1)^n[r´i×(w×r´i) ∆mi]

Movimiento angular.

En el caso particular de un cuerpo rígido restringido a girar en un punto fijo O, a veces resulta conveniente determinar la cantidad de  movimiento angular  Ho del cuerpo alrededor del punto O. En muchas ocasiones es ventajoso determinar Ho directamente  de la velocidad angular W del cuerpo y de sus momento y productos de inercia con respecto al sistema de referencia  Oxyz  Centrado en el punto fijo O. donde los momentos de inercia  Ix, Iy, Iz y los productos de inercia Ixyz  se calculan con respecto al sistema de referencia O xyz centrado en el punto fijo O.

ECUACIONES DE L MOVIMIENTO

Ecuaciones de movimiento de traslacion.

Forma vectorial:    ∑F =maG

Ecuaciones escalares:      ∑Fx = m(ag)x         ∑Fy= m(aG)y          ∑Fz = m(aG)z

Aqui, ∑F = ∑Fxi + ∑Fyj + ∑Fzk representa la suma de todas las fuerzas ezternas que actuan sobre el cuerpo.

Ecuaciones del movimiento rotatorio.

∑Mo = Ho’  establece que la suma de los momentos con respecto a un punto fijo O, de todas las fuerzas externas que actuan sobre un sistema de particulas es iual a la rapidez de cambio del momento angular total del cuerpo con respecto al punto O.

Si x,y,z representa un marco inicial de referncia, el momento angular de la iesima particula con respecto a este marco, y derivando con respecto al tiempo se obtiene:

(H’i)G = r’ i/G x mi v i/G +r i/G x miv’i/G

MOVIMIENTO DE UN GIROSCOPIO

Un giroscopio consiste, esencialmente, en un rotor que puede girar libremente alrededor de su eje geométrico. Cuando esta montado en una suspensión de Cardan, es posible que asuma cualquier orientación, pero su centro de masa debe permanecer fijo en el espacio. Para definir la posición de un giroscopio en un instante dado, se elige un sistema de referencia OXYZ, con el origen O localizado en el centro de masa del giroscopio en la cual los dos balancines y un diámetro deseado DD´ del rotor se ubican en el plano fijo YZ.

MOVIMIENTO LIBRE DE PARES.

Cuando la única fuerza externa que actúa sobre un cuerpo es causada por la gravitación, el movimiento general del cuerpo se refiere como movimiento libre de pares. Este movimiento es característico de los planetas, satélites artificiales y proyectiles siempre que, respecto a estos ultimos, se desprecien los efectos de la fricción del aire.

Para decribir las caracterisicas de este movimiento se supondra que la distribucion de la masa del cuerpo es axisimetrica. El origen de las coordenadas x,y,z se ubica en el centro de masa G. de tal modo que:

 Izz = Iz e Ixx = Iyy= I   para el cuerpo. Si la unica fuerza externa presente es la gravitacion, la suma de momentos con respecto al centro de masa es cero. Es necesario que el momento angular del cuerpo sea constante  HG = const

De estas formulas y tomando en cuenta la velocidad angular w de x,y,z podemos decir que:

w = (HGsenO /I) j + (HGcosO/Iz) k

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