FUERZAS Y CAMPOS DE OBJETOS ESFERICOS: EXPERIMENTO DE CAVENDISH

diciembre 5, 2009

En esta ocasión hablaremos sobre el tema de gravitación universal y movimiento orbital, pero mas preciso hablaremos del experimento de Cavendish, sobre fuerzas y campos de cuerpos esféricos.

En 1797 y 1798, Cavendish confirmó la teoría de Newton y determinó la constante de la proporcionalidad en la Ley de Gravedad Universal de Newton. Su ingenioso experimento, basado en el trabajo de John Michell tuvo éxito en los dos aspectos. Para alcanzar esto, Cavendish creó la “balanza de torsión,” que consistía en dos masas a cada lado de una barra que estaba suspendida del techo con un delgado cable.

Atado al cable, había un espejo sobre el cual se reflejaba un rayo de luz. Cavendish puso una tercera masa cerca de una de las masas en la balanza de torsión. A medida que la tercera masa atraía una de las extremidades de la balanza de torsión, el aparato entero, incluido el espejo, rotaba ligeramente y el rayo de luz se desviaba. A través de cuidadosas medidas del desvío angular del rayo de luz, Cavendish era capaz de determinar la magnitud con la que la masa conocida atraía la masa nueva. Cavendish no sólo confirmó la teoría de Newton, sino que también determinó el valor de la constante gravitacional con una exactitud sorprendente.

Astutamente, Cavendish se refirió a su investigación como “Midiendo la masa de la tierra.” Ya que el había determinado el valor de G, podía realizar simples cálculos para determinar la masa de la tierra. De acuerdo a la Segunda Ley de Newton, la fuerza entre un objeto y la tierra es igual al producto de la aceleración (g) y la masa del objecto (m).

A principios de los años 1600, Galileo determinó que la aceleración de todos los objetos cerca de la superficie de la tierra, como g = 9.8 m/s2.

Poniendo esta ecuación igual a la Ley de la Gravitación Universal de Newton, Cavendish dedujo:

F=mg = Gmm2/(r2)²

donde m es la masa del objeto, m2 es la masa de la tierra, y r2 es el radio de la tierra. Resolviendo, la masa de la tierra tiene un valor de: 5.98 X 10^24 kg.

Cavendish determinó la masa de la tierra con gran exactitud.

También podemos usar esta relación para calcular la fuerza de atracción entre dos personas en extremos opuestos de un cuarto.

El experimento de Cavendish o de la balanza de torsión constituyó la primera medida de la constante de gravitación universal y, por ende, a partir de la ley de la gravitacion universal de Newton y las características orbitales de los cuerpos del Sistema Solar, la primera determinación de la masa de los planetas y del Sol.

El instrumento construido por Cavendish consistía en una balanza de torsión con una vara horizontal de seis pies de longitud en cuyos extremos se encontraban dos esferas metálicas. Esta vara colgaba suspendida de un largo hilo. Cerca de las esferas Cavendish dispuso dos esferas de plomo de unos 175 kg cuya acción gravitatoria debía atraer las masas de la balanza produciendo un pequeño giro sobre esta. Para impedir perturbaciones causadas por corrientes de aire, Cavendish emplazó su balanza en una habitación a prueba de viento y midió la pequeña torsión de la balanza utilizando un telescopio.

A partir de las fuerzas de torsión en el hilo y las masas de las esferas Cavendish fue capaz de calcular el valor de la constante de gravitación universal. Dado que la fuerza de la gravedad de la Tierra sobre cualquier objeto en su superficie puede ser medida directamente, la medida de la constante de gravitación permitió determinar la masa de la Tierra por primera vez. Igualmente fue posible determinar las masas del Sol, la Luna y los diferentes cuerpos del Sistema Solar.

Para que les quede un mas claro lo que es este aparato y la manera de utilizarlo les dejo un video practico y muy interesante.

Como ven aqui, el aparato es muy sencillo pero su aportacion a la ciencia fue de gran impacto.

En sintesis, Cavendish invento un aparato sencillo con el cual pudo darle un valor a la constante de la gravitacion universal, dando lugar a nuevos calculos y descubrimientos, como lo fue el calculo de la masa de la tierra.

CINÉTICA DE CUERPOS RÍGIDOS EN 3 DIMENSIONES

noviembre 30, 2009

 

MOMENTO Y PRODUCTO DE INERCIA

La cantidad de movimiento angular Hg de un cuerpo alrededor de su centro de masa G puede determinarse a partir de la velocidad angular w del cuerpo en el caso de movimiento tridimensional.

La cantidad de movimiento angular del cuerpo alrededor de puede expresarse como:

H_G= ∑(i=1)^n[r´i×v´i ∆mi]           

Donde  y  denotan, respectivamente, el vector de posición y la velocidad de la partícula  de masa , relativa al sistema de referencia centroidal . Pero , donde  es la velocidad angular del cuerpo en el instante considerado. Al sustituir en (18.3), se tiene: H_G= ∑_(i=1)^n[r´i×(w×r´i) ∆mi]

Movimiento angular.

En el caso particular de un cuerpo rígido restringido a girar en un punto fijo O, a veces resulta conveniente determinar la cantidad de  movimiento angular  Ho del cuerpo alrededor del punto O. En muchas ocasiones es ventajoso determinar Ho directamente  de la velocidad angular W del cuerpo y de sus momento y productos de inercia con respecto al sistema de referencia  Oxyz  Centrado en el punto fijo O. donde los momentos de inercia  Ix, Iy, Iz y los productos de inercia Ixyz  se calculan con respecto al sistema de referencia O xyz centrado en el punto fijo O.

ECUACIONES DE L MOVIMIENTO

Ecuaciones de movimiento de traslacion.

Forma vectorial:    ∑F =maG

Ecuaciones escalares:      ∑Fx = m(ag)x         ∑Fy= m(aG)y          ∑Fz = m(aG)z

Aqui, ∑F = ∑Fxi + ∑Fyj + ∑Fzk representa la suma de todas las fuerzas ezternas que actuan sobre el cuerpo.

Ecuaciones del movimiento rotatorio.

∑Mo = Ho’  establece que la suma de los momentos con respecto a un punto fijo O, de todas las fuerzas externas que actuan sobre un sistema de particulas es iual a la rapidez de cambio del momento angular total del cuerpo con respecto al punto O.

Si x,y,z representa un marco inicial de referncia, el momento angular de la iesima particula con respecto a este marco, y derivando con respecto al tiempo se obtiene:

(H’i)G = r’ i/G x mi v i/G +r i/G x miv’i/G

MOVIMIENTO DE UN GIROSCOPIO

Un giroscopio consiste, esencialmente, en un rotor que puede girar libremente alrededor de su eje geométrico. Cuando esta montado en una suspensión de Cardan, es posible que asuma cualquier orientación, pero su centro de masa debe permanecer fijo en el espacio. Para definir la posición de un giroscopio en un instante dado, se elige un sistema de referencia OXYZ, con el origen O localizado en el centro de masa del giroscopio en la cual los dos balancines y un diámetro deseado DD´ del rotor se ubican en el plano fijo YZ.

MOVIMIENTO LIBRE DE PARES.

Cuando la única fuerza externa que actúa sobre un cuerpo es causada por la gravitación, el movimiento general del cuerpo se refiere como movimiento libre de pares. Este movimiento es característico de los planetas, satélites artificiales y proyectiles siempre que, respecto a estos ultimos, se desprecien los efectos de la fricción del aire.

Para decribir las caracterisicas de este movimiento se supondra que la distribucion de la masa del cuerpo es axisimetrica. El origen de las coordenadas x,y,z se ubica en el centro de masa G. de tal modo que:

 Izz = Iz e Ixx = Iyy= I   para el cuerpo. Si la unica fuerza externa presente es la gravitacion, la suma de momentos con respecto al centro de masa es cero. Es necesario que el momento angular del cuerpo sea constante  HG = const

De estas formulas y tomando en cuenta la velocidad angular w de x,y,z podemos decir que:

w = (HGsenO /I) j + (HGcosO/Iz) k

CINEMATICA DE UN CUERPO RIGIDO EN TRES DIMENCIONES

noviembre 30, 2009

 

ROTACION.

Cuando un cuerpo rígido gira en torno a un punto fijo, la distancia r del punto a una partícula P localizada en el cuerpo es la misma para cualquier posición del cuerpo. Así, la trayectoria del movimiento para la partícula se localiza sobre la superficie de una esfera que tiene un radio r y su centro en el punto fijo. El movimiento a lo largo de esta trayectoria se obtiene a partir de una serie de rotaciones hechas durante un intervalo de tiempo finito, en seguida mostrare algunas propiedades de los desplazamientos rotacionales:

>Teorema de Euler.

Establece que dos rotaciones “componentes” alrededor de ejes diferentes que pasan a través de un punto son equivalentes a una rotación unica resultante. Si se aplican más de dos rotaciones se pueden combinarse en pares y cada par puede reducirse para combinarse en una rotación.

>Rotaciones finitas.

Si las rotaciones componentes que se emplean en el Teorema de Euler son finitas es imporante mantener el orden en que se aplican. Esto se debe a que las rotaciones finitas no obedecen a la ley de la suma vectorial, y por lo mismo no pueden clasificarse como cantidades vectoriales.

>Rotaciones infinitesimales.

Al definir los movimientos angulares de un cuerpo sujeto a movimiento tridimencional, solo se consideraran rotaciones que son infinitesimalmente pequeñas. Estas rotaciones pueden considerarse como vectores, porque pueden sumarse vectorialmente de cualquier manera.

>Velocidad angular.

Si el cuerpo se somete a una rotación angular dO con respecto a un punto fijo, la velocidad angular del cuerpo se define por la derivada con respecto al tiempo.         w=O’

La linea que especifica la dirección de w que es colineal con dO se denomina el eje instantáneo de rotación.

>Aceleración angular. 

Se determina a partir de la derivada de la velocidad angular con respecto al tiempo.

&=w’

Para el movimiento al rededor de un punto fijo, &debe tener en cuenta un cambio tanto en la magniud como en la direccion de w, y por lo tanto en general, & no se dirige a lo largo del eje instantaneo de rotacion.

>Velocidad.

Una vez especificada w, puede calcularse la velocidad de cualquier punto P de un cuerpo que gira en torno a un punto fijo con los mismos metodos que se emplean para un cuerpo giratorio en torno a un eje fijo. Por tanto, de acuerdo con el producto vectorial:

v=w x r

r define a la posicion de P medida a partir del punto fijo O,

>Aceleracion.

Si se conocen w y & en determinado momento, puede obtenerse la aceleracion de cualquier punto P en el cuerpo diferenciando la ecuacion anterior de velocidad.

a= & x r + w x (wxr)

DERIVADAS DE UN VECTOR DE TRASLACION Y ROTACION

Consideremos que los ejes x, y, z del marco movil de referencia y suponiendo que tienen una velocidad angular  Ώ medida con respecto a los ejes fijos X, Y, Z.  Será conveniente expresar el vector A en términos de sus componentes i, j, k que definen las direcciones de los ejes móviles. Por tanto: A=Axi+ Ayj+ Azk En general, la derivada con respecto al tiempo de A debe tomar en cuenta tanto el cambio en la magnitud como en la dirección del vector. Sin embargo, si esta derivada se toma con respecto al marco de referencia móvil, solamente debe tomarse en cuenta el cambio en la magnitud de las componentes de A, ya que las derivadas de i, j, k no cambian con respecto a la referencia móvil. Por tanto: (A´) xyz=A´xi+A´yj+A´zk

ANALISIS DEL MOVIMIETO RELATIVO EMPLEANDO EJES DE ROTACION Y TRASLACION

La forma más general de analizar el movimiento de un cuerpo rígido en tres dimenciones requiere del empleo de un sistema de ejes x, y, z  que se traslade y gire en la en relación a un segundo marco de referencia X,Y,Z. Este análisis también proporciona un medio para determinar los movimientos de dos puntos sobre un mecanismo, que no están localizados sobre el mismo cuerpo rígido, y para determinar el movimiento relativo de una partícula con respecto a otra cuando una o ambas partículas se están moviendo a lo largo de trayectorias que giran.

Hello world!

octubre 2, 2009

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