CINEMATICA DE UN CUERPO RIGIDO EN TRES DIMENCIONES

 

ROTACION.

Cuando un cuerpo rígido gira en torno a un punto fijo, la distancia r del punto a una partícula P localizada en el cuerpo es la misma para cualquier posición del cuerpo. Así, la trayectoria del movimiento para la partícula se localiza sobre la superficie de una esfera que tiene un radio r y su centro en el punto fijo. El movimiento a lo largo de esta trayectoria se obtiene a partir de una serie de rotaciones hechas durante un intervalo de tiempo finito, en seguida mostrare algunas propiedades de los desplazamientos rotacionales:

>Teorema de Euler.

Establece que dos rotaciones “componentes” alrededor de ejes diferentes que pasan a través de un punto son equivalentes a una rotación unica resultante. Si se aplican más de dos rotaciones se pueden combinarse en pares y cada par puede reducirse para combinarse en una rotación.

>Rotaciones finitas.

Si las rotaciones componentes que se emplean en el Teorema de Euler son finitas es imporante mantener el orden en que se aplican. Esto se debe a que las rotaciones finitas no obedecen a la ley de la suma vectorial, y por lo mismo no pueden clasificarse como cantidades vectoriales.

>Rotaciones infinitesimales.

Al definir los movimientos angulares de un cuerpo sujeto a movimiento tridimencional, solo se consideraran rotaciones que son infinitesimalmente pequeñas. Estas rotaciones pueden considerarse como vectores, porque pueden sumarse vectorialmente de cualquier manera.

>Velocidad angular.

Si el cuerpo se somete a una rotación angular dO con respecto a un punto fijo, la velocidad angular del cuerpo se define por la derivada con respecto al tiempo.         w=O’

La linea que especifica la dirección de w que es colineal con dO se denomina el eje instantáneo de rotación.

>Aceleración angular. 

Se determina a partir de la derivada de la velocidad angular con respecto al tiempo.

&=w’

Para el movimiento al rededor de un punto fijo, &debe tener en cuenta un cambio tanto en la magniud como en la direccion de w, y por lo tanto en general, & no se dirige a lo largo del eje instantaneo de rotacion.

>Velocidad.

Una vez especificada w, puede calcularse la velocidad de cualquier punto P de un cuerpo que gira en torno a un punto fijo con los mismos metodos que se emplean para un cuerpo giratorio en torno a un eje fijo. Por tanto, de acuerdo con el producto vectorial:

v=w x r

r define a la posicion de P medida a partir del punto fijo O,

>Aceleracion.

Si se conocen w y & en determinado momento, puede obtenerse la aceleracion de cualquier punto P en el cuerpo diferenciando la ecuacion anterior de velocidad.

a= & x r + w x (wxr)

DERIVADAS DE UN VECTOR DE TRASLACION Y ROTACION

Consideremos que los ejes x, y, z del marco movil de referencia y suponiendo que tienen una velocidad angular  Ώ medida con respecto a los ejes fijos X, Y, Z.  Será conveniente expresar el vector A en términos de sus componentes i, j, k que definen las direcciones de los ejes móviles. Por tanto: A=Axi+ Ayj+ Azk En general, la derivada con respecto al tiempo de A debe tomar en cuenta tanto el cambio en la magnitud como en la dirección del vector. Sin embargo, si esta derivada se toma con respecto al marco de referencia móvil, solamente debe tomarse en cuenta el cambio en la magnitud de las componentes de A, ya que las derivadas de i, j, k no cambian con respecto a la referencia móvil. Por tanto: (A´) xyz=A´xi+A´yj+A´zk

ANALISIS DEL MOVIMIETO RELATIVO EMPLEANDO EJES DE ROTACION Y TRASLACION

La forma más general de analizar el movimiento de un cuerpo rígido en tres dimenciones requiere del empleo de un sistema de ejes x, y, z  que se traslade y gire en la en relación a un segundo marco de referencia X,Y,Z. Este análisis también proporciona un medio para determinar los movimientos de dos puntos sobre un mecanismo, que no están localizados sobre el mismo cuerpo rígido, y para determinar el movimiento relativo de una partícula con respecto a otra cuando una o ambas partículas se están moviendo a lo largo de trayectorias que giran.

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